\documentclass[handout]{slide}



\renewcommand{\mytitle}{第九章\quad 多元函数微分法及其应用 }
\renewcommand{\mysubtitle}{第八节\quad 多元函数的极值及其求法}
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\newcommand{\grad}{\mathrm{\symbf{grad}}}
\begin{document}



\section{多元函数的极值及最大值与最小值}

\begin{frame}{多元函数的极值及最大值与最小值}

\pause
在实际问题中， 往往会遇到多元函数的最大值与最小值问题。 与一元函数相类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值有密切联系， 因此我们以二元函数为例，先来讨论多元函数的极值问题。

\pause
\begin{definition*}
设函数 $z=f(x, y)$ 的定义域为 $D, P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为 $D$ 的内点。 若存在 $P_{0}$ 的某个邻域 $U\left(P_{0}\right) \subset D$, 使得对于该邻域内任何点 $(x, y)$, 都有
\[
f(x, y)\leqslant f\left(x_{0}, y_{0}\right),
\]
则称函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 有\emph{极大值}或\emph{局部最大值} $f\left(x_{0}, y_{0}\right)$, 点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 称为函数 $f(x, y)$ 的\emph{极大值点}; 
\pause
若对于该邻域内任何点 $(x, y)$, 都有
\[
f(x, y)\geqslant f\left(x_{0}, y_{0}\right),
\]
则称函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 有\emph{极小值}或\emph{局部最小值} $f\left(x_{0}, y_{0}\right)$, 点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 称为函数 $f(x, y)$ 的\emph{极小值点}。 
\pause
极大值与极小值统称为\emph{极值}。 使得函数取得极值的点称为\emph{极值点}。
\end{definition*}
\end{frame}
\begin{frame}
  \begin{example}
  函数 $z=3 x^{2}+4 y^{2}$ 在点 $(0,0)$ 处有极小值。 因为对于点 $(0,0)$ 的任一邻域内异于 $(0,0)$ 的点， 函数值都为正， 而在点 $(0,0)$ 处的函数值为零。 从几何上看这是显然的，因为点 $(0,0,0)$ 是开口朝上的椭圆抛物面 $z=3 x^{2}+4 y^{2}$ 的顶点。
\end{example}
\pause
\begin{example}
函数 $z=-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 在点 $(0,0)$ 处有极大值。 因为在点 $(0,0)$ 处函数值为零， 而对于点 $(0,0)$ 的任一邻域内异于 $(0,0)$ 的点， 函数值都为负。 点 $(0,0,0)$ 是位于 $x O y$ 平面下方的锥面 $z=-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 的顶点。
\end{example}
\pause
\begin{example}
函数 $z=x y$ 在点 $(0,0)$ 处既不取得极大值也不取得极小值。 因为在点 $(0,0)$处的函数值为零， 而在点 $(0,0)$ 的任一邻域内， 总有使函数值为正的点， 也有使函数值为负的点。
\end{example}

\pause
以上关于二元函数的极值概念， 可推广到 $n$ 元函数。 设 $n$ 元函数 $u=f(P)$ 的定义域为 $D, P_{0}$ 为 $D$ 的内点。 若存在 $P_{0}$ 的某个邻域 $U\left(P_{0}\right) \subset D$, 使得该邻域内任何点 $P$, 都有
\[
  f(P)\leqslant f\left(P_{0}\right) \quad\left(\text {或~} f(P)\geqslant f\left(P_{0}\right)\right) ,
\]
则称函数 $f(P)$ 在点 $P_{0}$ 有\emph{极大值} (或\emph{极小值}) $f\left(P_{0}\right)$.
\end{frame}

\begin{frame}

二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决。下面两个定理就是关于这问题的结论。
\pause
\begin{theorem*}[必要条件]
设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 具有偏导数， 且在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处有极值， 则有
\[
f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, \quad f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 .
\]
\end{theorem*}
\pause
\begin{proof}
不妨设 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处有极大值。 依照极大值的定义， 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$的某邻域内异于 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的点 $(x, y)$ 都适合不等式
\[
f(x, y)<f\left(x_{0}, y_{0}\right) .
\]
\pause
特殊地， 在该邻域内取 $y=y_{0}$ 而 $x \neq x_{0}$ 的点， 也应适合不等式
\[
f\left(x, y_{0}\right)<f\left(x_{0}, y_{0}\right) .
\]
\pause
这表明一元函数 $f\left(x, y_{0}\right)$ 在 $x=x_{0}$ 处取得极大值， 因而必有
\[
f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 .
\]
\pause
类似可证
\[
f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 .
\]
\end{proof}
\end{frame}
\begin{frame}
从几何上看， 这时如果曲面 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处有切平面， 则切平面
\[
z-z_{0}=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)
\]
成为平行于 $x O y$ 坐标面的平面 $z-z_{0}=0$.

~

\pause
类似地推得， 如果三元函数 $u=f(x, y, z)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 具有偏导数， 那么它在点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 具有极值的必要条件为
\[
f_{x}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=0, \quad f_{y}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=0, \quad f_{z}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=0 .
\]

\pause
仿照一元函数， 凡是能使 $f_{x}(x, y)=0, f_{y}(x, y)=0$ 同时成立的点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 称为函数 $z=f(x, y)$ 的\emph{驻点}。 
换句话说，驻点就是梯度消失的点。
\pause
从定理 1 可知， 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。 但函数的驻点不一定是极值点， 例如， 点 $(0,0)$ 是函数 $z=x y$ 的驻点， 但函数在该点并无极值。
\end{frame}

\begin{frame}
怎样判定一个驻点是否是极值点呢? 下面的定理回答了这个问题。

\pause
\begin{theorem*}[充分条件]
设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数， 又 $f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$, 令
\[
f_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=A, \quad f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=B, \quad f_{y y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=C,
\]
则 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处是否取得极值的条件如下：
\pause
\begin{enumerate}
    \item $A C-B^{2}>0$ 时具有极值， 且当 $A<0$ 时有极大值， 当 $A>0$ 时有极小值;
\pause
      \item $A C-B^{2}<0$ 时没有极值;
\pause
        \item $A C-B^{2}=0$ 时可能有极值， 也可能没有极值， 还需另作讨论。
    \end{enumerate}
\end{theorem*}

\pause
利用定理 1 、定理 2 , 我们把具有二阶连续偏导数的函数 $z=f(x, y)$ 的极值的求法叙述如下：

\pause
\emph{第一步} 解方程组
\[
f_{x}(x, y)=0, \quad f_{y}(x, y)=0
\]
求得一切实数解， 即可求得一切驻点。

\pause
\emph{第二步} 对于每一个驻点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$, 求出二阶偏导数的值 $A, B$ 和 $C$.

\pause
\emph{第三步} 定出 $A C-B^{2}$ 的符号，按定理 2 的结论判定 $f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是不是极值、是极大值还是极小值。
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}
  求函数 $f(x, y)=x^{3}-y^{3}+3 x^{2}+3 y^{2}-9 x$ 的极值。
\end{example}
\pause
\begin{solution}
先解方程组
\[
  \left\{\begin{array}{l}
        f_{x}(x, y)=3 x^{2}+6 x-9=0 \\
        f_{y}(x, y)=-3 y^{2}+6 y=0
  \end{array}\right.
\]
求得驻点为 $(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2)$.

\pause
再求出二阶偏导数
\[
f_{x x}(x, y)=6 x+6, \quad f_{x y}(x, y)=0, \quad f_{y y}(x, y)=-6 y+6 .
\]

\pause
在点 $(1,0)$ 处， 因为 $A C-B^{2}=12 \times 6>0$, 又 $A>0$, 所以函数在 $(1,0)$ 处有极小值 $f(1,0)=-5$;

在点 $(1,2)$ 处， 因为 $A C-B^{2}=12 \times(-6)<0$, 所以 $f(1,2)$ 不是极值;

在点 $(-3,0)$ 处， 因为 $A C-B^{2}=-12 \times 6<0$, 所以 $f(-3,0)$ 不是极值;

在点 $(-3,2)$ 处， 因为 $A C-B^{2}=-12 \times(-6)>0$, 又 $A<0$, 所以函数在 $(-3,2)$ 处有极大值 $f(-3,2)=31$.
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}
讨论函数的极值问题时， 如果函数在所讨论的区域内具有偏导数， 那么由定理 1 可知， 极值只可能在驻点处取得。 然而， 如果函数在个别点处的偏导数不存在， 这些点当然不是驻点， 但也可能是极值点。
\pause
例如在例 2 中， 函数 $z=-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 在点 $(0,0)$处的偏导数不存在， 但该函数在点 $(0,0)$ 处却具有极大值。 因此， 在考虑函数的极值问题时， 除了考虑函数的驻点外， 如果有偏导数不存在的点， 那么对这些点也应当考虑。

~

\pause
与一元函数相类似， 我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值。 在第一节中已经指出，如果 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，那么 $f(x, y)$ 在 $D$ 上必定能取得最大值和最小值。 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在 $D$ 的内部， 也可能在 $D$ 的边界上。 
\pause
我们假定， 函数在 $D$ 上连续、在 $D$ 内可微分且只有有限个驻点， 这时如果
函数在 $D$ 的内部取得最大值 (最小值), 那么这个最大值 (最小值) 也是函数的极大值 (极小值)。 
\pause
因此， 在上述假定下， 求函数的最大值和最小值的一般方法是： 将函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 内的所有驻点处的函数值及在 $D$ 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大的就是最大值， 最小的就是最小值。 
\pause
但这种做法， 由于要求出 $f(x, y)$ 在 $D$ 的边界上的最大值和最小值， 所以往往相当复杂。 在通常遇到的实际问题中， 如果根据问题的性质， 知道函数 $f(x, y)$ 的最大值 (最小值) 一定在 $D$ 的内部取得， 而函数在 $D$ 内只有一个驻点， 那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上的最大值 (最小值).
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}
  某厂要用铁板做成一个体积为 $2\mathrm{~m}^{3}$ 的有盖长方体水箱。 问当长、宽和高各取怎样的尺寸时， 才能使用料最省。
\end{example}
\pause
\begin{solution}
设水箱的长为 $x \mathrm{~m}$, 宽为 $y \mathrm{~m}$, 则其高应为 $\frac{2}{x y} \mathrm{~m}$. 此水箱所用材料的面积为 $A=$ $2\left(x y+y \cdot \frac{2}{x y}+x \cdot \frac{2}{x y}\right)$, 即
\[
A=2\left(x y+\frac{2}{x}+\frac{2}{y}\right) \quad(x>0, y>0) .
\]
可见材料面积 $A=A(x, y)$ 是 $x$ 和 $y$ 的二元函数， 这就是目标函数， 下面求使这函数取得最小值的点 $(x, y)$.
\pause
令
\[
A_{x}=2\left(y-\frac{2}{x^{2}}\right)=0, \quad A_{y}=2\left(x-\frac{2}{y^{2}}\right)=0 .
\]
解这方程组， 得
$
x=\sqrt[3]{2}, y=\sqrt[3]{2} .
$
\pause
根据题意可以知道， 水箱所用材料面积的最小值一定存在， 并在开区域 $D=$ $\{(x, y) \mid x>0, y>0\}$ 内取得。 又函数在 $D$ 内只有唯一的驻点 $(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2})$, 因此可断定当 $x=\sqrt[3]{2}, y=\sqrt[3]{2}$ 时， $A$ 取得最小值。 就是说， 当水箱的长为 $\sqrt[3]{2} \mathrm{~m}$ 、宽为 $\sqrt[3]{2} \mathrm{~m}$ 、高为 $\frac{2}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2}}=$ $\sqrt[3]{2} \mathrm{~m}$ 时，水箱所用的材料最省。
\end{solution}
\pause
从这个例子还可看出， 在体积一定的长方体中， 以立方体的表面积为最小。
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  有一宽为 $24 \mathrm{~cm}$ 的长方形铁板， 把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽。 问怎样折法才能使断面的面积最大?
\end{example}
\pause
\begin{solution}
  \begin{figure}
    \includegraphics[max width=.5\textwidth]{2024_01_20_3f478344d98272341b49g-61}
  \caption*{图 9-11}
\end{figure}

\pause
设折起来的边长为 $x \mathrm{~cm}$, 倾角为 $\alpha$ (图 9-11), 则梯形断面的下底长为 $(24-2 x) \mathrm{cm}$, 上底长为 $(24-2 x+2 x \cos \alpha) \mathrm{cm}$, 高为 $(x \sin \alpha) \mathrm{cm}$, 所以断面面积
\[
A=\frac{1}{2}(24-2 x+2 x \cos \alpha+24-2 x) \cdot x \sin \alpha,
\]
即
\[
A=24 x \sin \alpha-2 x^{2} \sin \alpha+x^{2} \sin \alpha \cos \alpha \quad\left(0<x<12,0<\alpha \leqslant \frac{\pi}{2}\right)
\]
可见断面面积 $A=A(x, \alpha)$, 这就是目标函数。
\end{solution}
\end{frame}
\begin{frame}
  \begin{solution}[续]
    \pause
  下面求使这函数取得最大值的点 $(x, \alpha)$. 令
  \[
    \begin{cases}
        A_{x}=24 \sin \alpha-4 x \sin \alpha+2 x \sin \alpha \cos \alpha=0, & (1)\\
        A_{\alpha}=24 x \cos \alpha-2 x^{2} \cos \alpha+x^{2}\left(\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha\right)=0. & (2)
      \end{cases}
\]
\pause
由于 $\sin \alpha \neq 0$, 由(1)可得$x\cos\alpha=2x-12$, 代入(2)可得
\[
  24(2x-12)-2x(2x-12)+2(2x-12)^2-x^2=0.
\]
\pause
化简得 $3x(x-8)=0$, 进而可解得
\[
\alpha=\frac{\pi}{3}, \quad x=8 .
\]

根据题意可知断面面积的最大值一定存在， 并且在%
\footnote{取$\alpha\in (0,\pi)$可避开边界的问题。}
\[
  D=\left\{(x, \alpha) \mid 0<x<12,0<\alpha \leqslant \frac{\pi}{2}\right\}
\]
上取得。刚才的计算表明在$D$的内部，函数可能的极值点（刚才算出的驻点）为$(\frac{\pi}{3}, 8)$, 相应的函数值为$48\sqrt{3}$. 
\pause
在$D$的边界上，
$\alpha=\frac{\pi}{2}$, 从而函数$A$变成了$A=24x-2x^2$, 其最大值为$72$, 比 $\alpha=\frac{\pi}{3}, x=8$ 时的函数值$48\sqrt{3}$小。 
\pause
因此可以断定， 当 $x=8, \alpha=\frac{\pi}{3}$ 时，断面的面积最大。
\end{solution}
\end{frame}

\section{条件极值 \textbullet 拉格朗日乘数法}
\begin{frame}{条件极值}
  \pause
上面所讨论的极值问题， 对于函数的自变量， 除了限制在函数的定义域内以外， 并无其他条件，所以有时候称为\emph{无条件极值}。
但在实际问题中，有时会遇到对函数的自变量还有附加条件的极值问题。 
\pause
例如， 求表面积为 $a^{2}$ 而体积为最大的长方体的体积问题。 设长方体的三棱的长为 $x, y$ 与 $z$, 则体积 $V=x y z$. 又因假定表面积为 $a^{2}$, 所以自变量 $x, y$ 与 $z$ 还必须满足附加条件 $2(x y+y z+x z)=a^{2}$. 
\pause
像这种对自变量有附加条件的极值称
为\emph{条件极值}。 
\pause
对于有些实际问题， 可以把条件极值化为无条件极值， 然后利用第一目中的方法加以解决。 例如上述问题， 可由条件 $2(x y+y z+x z)=a^{2}$, 将 $z$ 表示成
\[
z=\frac{a^{2}-2 x y}{2(x+y)}
\]
再把它代人 $V=x y z$ 中， 于是问题就化为求
\[
V=\frac{x y}{2}\left(\frac{a^{2}-2 x y}{x+y}\right)
\]
的无条件极值。例 5 也是属于把条件极值化为无条件极值的例子。
\end{frame}

\begin{frame}
但在很多情形下， 将条件极值化为无条件极值并不这样简单。 另有一种直接寻求条件极值的方法， 可以不必先把问题化到无条件极值的问题，这就是下面要介绍的拉格朗日乘数法。

~

\pause
现在先来寻求函数
\[\tag{8-1}
z=f(x, y)
\]
在条件
\[\tag{8-2}
\varphi(x, y)=0
\]
下取得极值的必要条件。

~

\pause
如果函数 (8-1) 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 取得所求的极值， 那么首先有
\[\tag{8-3}
\varphi\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 .
\]
我们假定在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某一邻域内 $f(x, y)$ 与 $\varphi(x, y)$ 均有连续的一阶偏导数， 而 $\varphi_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0 $. 
\pause
由隐函数存在定理可知， 方程 $(8-2)$ 确定一个连续且具有连续导数的函数 $y=\psi(x)$, 将其代人 (8-1) 式， 结果得到一个变量 $x$ 的函数
\[\tag{8-4}
z=f[x, \psi(x)] .
\]
\pause
于是函数 (8-1) 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 取得所求的极值， 也就是相当于函数 (8-4) 在 $x=x_{0}$ 取得极值。 
\end{frame}

\begin{frame}
由一元可导函数取得极值的必要条件知道
\[\tag{8-5}
  \left.\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_{0}}=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)+\left.f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_{0}}=0,
  \]
  \pause
而由 (8-2) 用隐函数求导公式， 有
\[
  \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_{0}}=-\frac{\varphi_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\varphi_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)}
\]
\pause
把上式代人 (8-5)式，得
\[\tag{8-6}
f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)-f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \frac{\varphi_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\varphi_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)}=0
\]
\pause
(8-3) 、(8-6) 两式就是函数 (8-1) 在条件 (8-2) 下在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 取得极值的必要条件。

~

\pause
设 $\frac{f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\varphi_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)}=-\lambda$, 上述必要条件就变为
\[\tag{8-7}
  \left\{\begin{array}{l}
      f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)+\lambda \varphi_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 \\
      f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)+\lambda \varphi_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 \\
      \varphi\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 .
  \end{array}\right.
\]

\end{frame}

\begin{frame}{拉格朗日乘子法}

若引进辅助函数
\[
L(x, y)=f(x, y)+\lambda \varphi(x, y)
\]
则不难看出， (8-7) 中前两式就是
\[
L_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, \quad L_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 .
\]

\pause
函数 $L(x, y)$ 称为\emph{拉格朗日函数}，参数 $\lambda$ 称为\emph{拉格朗目乘子}。

~

\pause
由以上讨论，我们得到以下结论：

\pause
\emph{拉格朗日乘数法} 要找函数 $z=f(x, y)$ 在附加条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数
\[
L(x, y)=f(x, y)+\lambda \varphi(x, y),
\]
其中 $\lambda$ 为参数。 
\pause
求其对 $x$ 与 $y$ 的一阶偏导数， 并使之为零， 然后与方程 (8-2) 联立起来：
\[
  \left\{\begin{array}{l}
    f_{x}(x, y)+\lambda \varphi_{x}(x, y)=0, \\
  f_{y}(x, y)+\lambda \varphi_{y}(x, y)=0, \\
\varphi(x, y)=0 .
\end{array}\right.
\]
\pause
由这方程组解出 $x, y$ 及 $\lambda$, 这样得到的 $(x, y)$ 就是函数 $f(x, y)$ 在附加条件 $\varphi(x, y)=0$下的可能极值点。

\end{frame}

\begin{frame}
  要进一步判断是不是极值点，是何种极值点，在有连续二阶偏导数的假定下，
  通常我们可以由隐函数定理局部地解出其中的一些变量（即把这些变量表示成剩余变量的函数），
  进而（局部地）转化为无条件极值问题，然后用我们之前说的充分条件来判断。

  ~

  \pause
Lagrange乘子法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。
\pause
例如，要求函数
\[
u=f(x, y, z, t)
\]
在附加条件
\[\tag{8-9}
\varphi(x, y, z, t)=0, \quad \psi(x, y, z, t)=0
\]
下的极值， 可以先作拉格朗日函数
\[
L(x, y, z, t)=f(x, y, z, t)+\lambda \varphi(x, y, z, t)+\mu \psi(x, y, z, t),
\]
其中 $\lambda, \mu$ 均为参数， 求其一阶偏导数， 并使之为零， 然后与 (8-9) 中的两个方程联立起来求解， 这样得出的 $(x, y, z, t)$ 就是函数 $f(x, y, z, t)$ 在附加条件 (8-9) 下的可能极值点。

\pause
至于如何确定所求得的点是不是极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。
\end{frame}
\begin{frame}
  \begin{example}
  求表面积为 $a^{2}$ 而体积为最大的长方体的体积。
\end{example}
\pause
\begin{solution}
设长方体的三棱长为 $x, y$ 与 $z$, 则问题就是在条件
\[\tag{8-10}
  \varphi(x, y, z)=2 x y+2 y z+2 x z-a^{2}=0
\]
下， 求函数
\[
V=x y z \quad(x>0, y>0, z>0)
\]
的最大值。 作拉格朗日函数
\[
L(x, y, z)=x y z+\lambda\left(2 x y+2 y z+2 x z-a^{2}\right),
\]
求其对 $x, y$ 与 $z$ 的偏导数， 并使之为零， 得到
\[\tag{8-11}
  \left\{\begin{array}{l}
        y z+2 \lambda(y+z)=0, \\
        x z+2 \lambda(x+z)=0, \\
      x y+2 \lambda(y+x)=0 .
\end{array}\right.
\]
再与 (8-10) 联立求解。
\end{solution}
\end{frame}
\begin{frame}
  \begin{solution}[续]
因为 $x, y$ 与 $z$ 都不等于零， 所以由 $(8-11)$ 可得
\[
\frac{x}{y}=\frac{x+z}{y+z}, \quad \frac{y}{z}=\frac{x+y}{x+z}
\]
由以上两式解得
\[
x=y=z .
\]
将此代人 (8-10) 式，便得
\[
x=y=z=\frac{\sqrt{6}}{6} a,
\]
这是唯一可能的极值点。 因为由问题本身可知最大值一定存在， 所以最大值就在这个可能的极值点处取得。 也就是说， 表面积为 $a^{2}$ 的长方体中， 以棱长为 $\frac{\sqrt{6}}{6} a$ 的立方体的体积为最大， 最大体积 $V=\frac{\sqrt{6}}{36} a^{3}$.
\end{solution}
\end{frame}
\begin{frame}
  \begin{example}
  求函数 $u=x y z$ 在附加条件
  \[\tag{8-12}
  \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{a} \quad(x>0, y>0, z>0, a>0)
\]
下的极值。
\end{example}
\pause
\begin{solution}
作拉格朗日函数
\[
L(x, y, z)=x y z+\lambda\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{a}\right)
\]
令
\[\tag{8-13}
  \left\{\begin{array}{l}
        L_{x}=y z-\frac{\lambda}{x^{2}}=0, \\
        L_{y}=x z-\frac{\lambda}{y^{2}}=0, \\
      L_{z}=x y-\frac{\lambda}{z^{2}}=0 .
\end{array}\right.
\]
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{solution}[续]
  注意到以上三个方程左端的第一项都是三个变量 $x, y$ 与 $z$ 中某两个变量的乘积， 将各方程两端同乘相应缺少的那个变量， 使各方程左端的第一项都成为 $x y z$, 然后将所得的三个方程左、右两端相加， 得
  \[
  3 x y z-\lambda\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=0
\]
把 (8-12)代人上式， 得
\[
x y z=\frac{\lambda}{3 a}
\]
再把这个结果分别代人 (8-13) 中各式， 便得 $x=y=z=3 a$. 由此得到点 $(3 a, 3 a, 3 a)$ 是函数 $u=x y z$ 在条件 (8-12) 下唯一可能的极值点。 把条件 (8-12) 确定的隐函数记作 $z=$ $z(x, y)$, 将目标函数看做 $u=x y z(x, y)=F(x, y)$, 再应用二元函数极值的充分条件判断， 可知点 $(3 a, 3 a, 3 a)$ 是函数 $u=x y z$ 在条件 (8-12) 下的极小值点。 因此， 目标函数 $u=x y z$ 在条件 (8-12) 下在点 $(3 a, 3 a, 3 a)$ 处取得极小值 $27 a^{3}$.
\end{solution}

\begin{remark}
  确定$(3a,3a,3a)$是极小值点的计算如下。
    令$G(x,y,z)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{a}$. 
  则$G_z(3a,3a,3a)=-\frac{1}{9a^2}\neq 0$. 故可确定函数$z=z(x,y)$,
  而且我们有
  \[
    \begin{aligned}
      z_x= -\frac{G_x}{G_z} = -\frac{z^2}{x^2}, \quad
      z_y= -\frac{G_y}{G_z} = -\frac{z^2}{y^2}.
    \end{aligned}
  \]
\end{remark}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{remark}[续]
  进而有
  \[
      z_{xx} = -\frac{2zz_x x^2-2xz^2}{x^4}, \quad
      z_{xy}= -\frac{2zz_y}{x^2},\quad
      z_{yy}= -\frac{2zz_yy^2-2yz^2}{y^4}.
  \]
  从而
  \[
    \begin{gathered}
      z_x(3a,3a)=-1, \quad z_y(3a,3a)=-1,\\
      z_{xx}(3a,3a)=\frac{4}{3a},\quad z_{xy}(3a,3a)=\frac{2}{3a}, \quad
      z_{yy}(3a,3a)=\frac{4}{3a}.
    \end{gathered}
  \]
  考虑复合函数$u(x,y)=xyz(x,y)$. 
  我们有
  \[
    \begin{gathered}
      u_x= yz+xyz_x, \quad
      u_y= xz+xyz_y, \\
      u_{xx}= 2yz_x+xyz_{xx},\quad
      u_{xy}= z+yz_y+xz_x+xyz_{xy},\quad
      u_{yy}= 2xz_y+xyz_{yy}.
    \end{gathered}
  \]
  因此
  \[
    u_{xx}(3a,3a)=6a, \quad u_{xy}(3a,3a)=3a, \quad u_{yy}(3a,3a)=6a.
  \]
  进而
  \[
    AC-B^2=27a^2>0
\]
且$A>0$, 这样$(3a,3a)$是$u(x,y)$的极小值点。
\end{remark}
\end{frame}

\begin{frame}
下面的问题涉及经济学中的一个最优价格的模型。

在生产和销售商品过程中，商品销售量、生产成本与销售价格是相互影响的。厂家要选择合理的销售价格， 才能获得最大利润。 这个价格称为最优价格。 下面的例题就是讨论怎样确定电视机的最优价格。
\begin{example}
设某电视机厂生产一台电视机的成本为 $C$, 每台电视机的销售价格为 $p$, 销售量为 $x$. 假设该厂的生产处于平衡状态，即电视机的生产量等于销售量。 根据市场预测，销售量 $x$ 与销售价格 $p$ 之间有下面的关系：
\[\tag{8-14}
x=M \mathrm{e}^{-a p} \quad(M>0, a>0),
\]
其中 $M$ 为市场最大需求量， $a$ 是价格系数。 同时， 生产部门根据对生产环节的分析， 对每台电视机的生产成本 $C$ 有如下测算：
\[\tag{8-15}
C=C_{0}-k \ln x \quad(k>0, x>1),
\]
其中 $C_{0}$ 是只生产一台电视机时的成本， $k$ 是规模系数。

根据上述条件，应如何确定电视机的售价 $p$, 才能使该厂获得最大利润?
\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{solution}
  设厂家获得的利润为 $u$, 每台电视机售价为 $p$, 每台生产成本为 $C$, 销售量为 $x$, 则
  \[
  u=(p-C) x
\]
于是问题化为求利润函数 $u=(p-C) x$ 在附加条件 (8-14)、(8-15) 下的极值问题。

作拉格朗日函数
\[
L(x, p, C)=(p-C) x+\lambda\left(x-M \mathrm{e}^{-a p}\right)+\mu\left(C-C_{0}+k \ln x\right) .
\]
令
\[
  \left\{\begin{array}{l}
        L_{x}=(p-C)+\lambda+k \frac{\mu}{x}=0, \\
        L_{p}=x+\lambda a M \mathrm{e}^{-a p}=0, \\
      L_{C}=-x+\mu=0
\end{array}\right.
\]
将 (8-14) 代人 (8-15), 得
\[\tag{8-16}
C=C_{0}-k(\ln M-a p) .
\]
\end{solution}
\end{frame}
\begin{frame}
  \begin{solution}[续]
  由 (8-14) 及 $L_{p}=0$ 知 $\lambda a=-1$, 即
  \[\tag{8-17}
  \lambda=-\frac{1}{a} .
\]
由 $L_{C}=0$ 知 $x=\mu$, 即
\[\tag{8-18}
\frac{x}{\mu}=1
\]
将 (8-16)、(8-17) 和 (8-18) 代人 $L_{x}=0$, 得
\[
p-C_{0}+k(\ln M-a p)-\frac{1}{a}+k=0,
\]
由此得
\[
  p^{*}=\frac{C_{0}-k \ln M+\frac{1}{a}-k}{1-a k}.
\]
因为由问题本身可知最优价格必定存在， 所以这个 $p^*$ 就是电视机的最优价格。 只要确定了规模系数 $k$ 、价格系数 $a$, 电视机的最优价格问题就解决了。
\end{solution}
\end{frame}
\end{document}
